====== LEZIONE 3 (IN ATTESA DI REVISIONE) ====== ===== Riassunto lezione precedente ===== Nella precedente lezione è stata definita la matrice N, costituita dalle tre funzioni di forma N1, N2 e N3, con la quale è stato possibile legare lo spostamento lungo X ed Y di un generico punto interno all’elemento triangolare agli spostamenti nodali dello stesso.\\ \\ $$ \begin{bmatrix} u(x,y))\\ v(x,y)) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} N_1(x,y) & 0 & N_2(x,y) & 0 & N_3(x,y) & 0 \\ 0 & N_1(x,y) & 0 & N_2(x,y) & 0 & N_3(x,y) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u_1\\ v_1 \\ u_2 \\ v_2 \\ u_3 \\ v_3 \end{bmatrix} $$\\ \\ Che nel caso tridimensionale diventa:\\ \\ $$ \begin{bmatrix} u(x,y))\\ v(x,y))\\ w(x,y) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} N_1(x,y) & 0 & 0 & N_2(x,y) & 0 & 0 & N_3(x,y) & 0 & 0 \\ 0 & N_1(x,y) & 0 & 0 & N_2(x,y) & 0 & 0 & N_3(x,y)& 0 \\ 0 & 0 & N_1(x,y)& 0 & 0 & N_2(x,y)& 0 & 0 & N_3(x,y) \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u_1 \\ v_1 \\ w_1 \\ u_2 \\ v_2 \\ w_2 \\ u_3 \\ v_3 \\ w_3 \end{bmatrix} $$\\ \\ Con ω spostamento lungo l’asse Z.\\ \\ **Nota**: è possibile considerare ulteriori gradi di libertà oltre agli spostamenti nodali, inserendo righe nel vettore __δ__ e lo stesso numero di colonne nella matrice __N__. \\ $$ \begin{bmatrix} u(x,y))\\ v(x,y)) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} N_1(x,y) & 0 & N_2(x,y) & 0 & N_3(x,y) & 0 & U_3\\ 0 & N_1(x,y) & 0 & N_2(x,y) & 0 & N_3(x,y) & V_3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u_1\\ v_1 \\ u_2 \\ v_2 \\ u_3 \\ v_3 \\ \xi \end{bmatrix} $$ \\ \\ ===== Introduzione ===== Consideriamo ancora l’equilibrio dell’elemento triangolare tre nodi:\\ \\ {{ :wikipaom2016:fig_1.jpg?200 |}}\\ \\ L’elemento triangolare può essere soggetto a carichi di diversa natura:\\ * Carico distribuito di superficie (Sx, Sy);\\ * Carico distribuito di volume (qx, qy);\\ * Carico distribuito di spigolo ( solitamente non considerato);\\ * Carico concentrato nodale (Px, Py) che nel caso bidimensionale coincide con i carichi di spigolo;\\ \\ ===== Equilibrio del sistema ===== Ipotizziamo che il nostro sistema abbia comportamento lineare, ossia valgano le seguenti condizioni:\\ * //Scalabilità degli effetti//: l’uscita (output) del nostro sistema, sarà direttamente proporzionale all’ingresso applicato (input).\\ \\ {{ :wikipaom2016:fig_2.jpg?300 |}}\\ \\ * //Componibilità degli effetti//: in presenza di più sollecitazioni la risposta complessiva del sistema può essere vista come somma delle risposte alle varie sollecitazioni prese singolarmente;\\ {{ :wikipaom2016:fig_3.jpg |}}\\ \\ $ \delta = \delta P + \delta Q $\\ \\ Sotto queste ipotesi è possibile applicare il //Teorema dei Lavori Virtuali//. Definiamo un vettore degli spostamenti virtuali δ__u__ con $$ \delta _\underline{u} = \begin{bmatrix} \delta u_1 \\ \delta v_1 \\ \delta u_2 \\ \delta v_2 \\ \delta u_3 \\ \delta v_3 \end{bmatrix} $$ \\ Se il sistema è in equilibrio, per ogni δ__u__, la somma dell’energia potenziale dovuta ai carichi e dell’energia potenziale elastica del sistema è nulla.\\ \\ $ \delta U_f + \delta U_e = 0 $ \\ \\ Oppure, considerando al posto dell’energia potenziale il lavoro svolto dai carichi:\\ \\ $ \delta W_f = -\delta U_f $ \\ ===== Energia potenziale elastica ===== Nel caso tridimensionale l’energia potenziale elastica assume la seguente forma:\\ \\ $$ U = \frac{1}{2} \int_{V} \begin{bmatrix} \sigma_x & \sigma_y & \sigma_z & \tau_{xy} & \tau_{xz} & \tau_{yz} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \varepsilon_x \\ \varepsilon_y \\ \varepsilon_z \\ \gamma_{xy} \\ \gamma_{xz} \\ \gamma_{yz} \end{bmatrix} dV $$ \\ \\ Che può essere ridotta, nel caso bidimensionale di **Tensione Piana** e **Deformazione Piana**, alla forma seguente:\\ \\ $$ U = \frac{1}{2} \int_{V} \begin{bmatrix} \sigma_x & \sigma_y & \tau_{xy} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \varepsilon_x \\ \varepsilon_y \\ \gamma_{xy} \end{bmatrix} dV $$ \\ \\ La relazione esistente tra spostamenti virtuali e deformazioni virtuali, da essi indotte, può essere scritta come:\\ \\ $ \delta \underline{u} \rightarrow \delta \underline{\varepsilon} = \underline{\underline{B}} \ \delta \underline{u} $\\ \\ Dove $ \underline{\underline{L}} \ \underline{\underline{N}} = \underline{\underline{B}} $\\ \\ e $$ \underline{\underline{L}} = \begin{bmatrix} \frac{\partial }{\partial x} & 0 \\ 0 & \frac{\partial }{\partial y} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} \end{bmatrix} $$ \\ \\ Possiamo dunque definire la variazione di energia potenziale elastica:\\ \\ $ \delta U = \int_{V} \underline{\sigma}^T \delta \underline{\varepsilon} \ dV $\\ \\ Con $$ \underline{\sigma}^T = \begin{bmatrix} \sigma_x & \sigma_y & \sigma_z & \tau_{xy} & \tau_{xz} & \tau_{yz} \end{bmatrix} $$ e $$ \delta \underline{\varepsilon} = \begin{bmatrix} \delta \varepsilon_x \\ \delta \varepsilon_y \\ \delta \varepsilon_z \\ \delta \gamma_{xy} \\ \delta \gamma_{xz} \\ \delta \gamma_{yz} \end{bmatrix} $$\\ ===== Lavoro dei carichi esterni ===== * **Lavoro concentrato ai nodi**:\\ \\ $ \delta W_p = P_{x1} \delta u_1 + P_{y1} \delta v_1 + P_{x2} \delta u_2 + P_{y2} \delta v_2 + P_{x3} \delta u_3 + P_{y3}\delta v_3 = \underline{P}^T \delta\underline{u} $ \\ \\ con $$ \underline{P}^T = \begin{bmatrix} P_{x1} & P_{y1} & P_{x2} & P_{y2} & P_{x3} & P_{y3} \end{bmatrix} $$ \\ \\ Dove Px e Py sono le componenti dei carichi nodali e δu e δv gli spostamenti virtuali nodali.\\ \\ * **Lavoro delle forze di superficie**:\\ \\ $ \delta W_s = \int_{sup} (S_x \delta u(x,y) + S_y\delta v(x,y))dS $= \\ $$ =\ \int_{sup} \begin{bmatrix} S_x(x,y) & S_y(x,y) \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \delta u(x,y)\\ \delta v(x,y) \end{bmatrix} dS $$ = $ \ \int_{sup} \underline{S}^T(x,y) \underline{\underline{N}}(x,y)\delta\underline{u}dS $=$ \delta W_s = \delta\underline{u}\int_{sup} \underline{S}^T(x,y) \underline{\underline{N}}(x,y)dS $=$ \delta W_s = \underline{F}^T_s \delta\underline{u} $\\ \\ In cui FsT sta ad indicare un vettore di forze ai nodi “//energeticamente//” equivalenti alle forze di superficie agenti sull’elemento. Tramite questo espediente, infatti, si è riuscito a “//tradurre//” dei carichi superficiali in carichi/forze ai nodi, rendendo il tutto di più facile lettura e facilitando così le successive operazioni.\\ Per chiarire le idee, supponiamo di avere un lato (lato __23__) del nostro elemento triangolare soggetto ad un carico distribuito (di superficie) costante che scomponiamo nelle due componenti Sx ed Sy lungo gli assi. Il lato ha lunghezza l e l’elemento ha spessore t. Si può notare, andando a graficare l’andamento delle funzioni di forma N1, N2 e N3 esclusivamente per il suddetto lato, che, come noto, N2 cresce linearmente dal vertice 3 al vertice 2: essa infatti è nulla in 3 ed unitaria in 2; lo stesso per N3: in 2 assume valore nullo mentre in 3 ha valore pari ad uno. Notare inoltre che N1 è identicamente nulla per ogni punto del lato __23__ ( N ha comportamento rettilineo lineare ed essendo N1 nulla sia in 2 che in 3, deve per forza essere nulla anche nei punti compresi).\\ \\ {{ :wikipaom2016:fig_456.jpg |}}\\ \\ Andiamo ora a determinare il vettore FsT nella pratica:\\ \\ $$ \underline{F}_s = \int_{sup.\bar{23}} \begin{bmatrix} S_x(x,y) & S_y(x,y) \end{bmatrix}\begin{bmatrix} N_1(x,y) & 0 & N_2(x,y) & 0 & N_3(x,y) & 0 \\ 0 & N_1(x,y) & 0 & N_2(x,y) & 0 & N_3(x,y) \end{bmatrix}dS_\bar{23} $$ \\ \\ Si può immediatamente notare che si tratta di un vettore di sei elementi, dato che deriva dal prodotto matriciale tra __S__T che è una 1x2 ed __N__ che è una 2x6: il primo elemento rappresenta la componente del carico al nodo 1 equivalente (al carico di superficie), in direzione X; il secondo la componente del carico al nodo 1 equivalente, in direzione Y; il terzo la componente del carico al nodo 2 equivalente, in direzione X e così via per gli altri tre elementi di __F__sT, fino al nodo 3. Il tutto si può facilmente osservare andando a determinare analiticamente, elemento per elemento, il vettore __F__sT.\\ \\ **Elemento 1**: $ \underline{F}_s = \int_{sup.\bar{23}} (S_xN_1 + S_y0)dS_\bar{23} $\\ \\ **Elemento 2**: $ \underline{F}_s = \int_{sup.\bar{23}} (S_x0 + S_yN_1)dS_\bar{23} $\\ \\ **Elemento 3**: $ \underline{F}_s = \int_{sup.\bar{23}} (S_xN_2 + S_y0)dS_\bar{23} $ cioè $\underline{F}_s = S_x \int_{sup.\bar{23}} N_2 dS_\bar{23}$ \\ \\ Andando a sostituire l’integrale di N2 sulla superficie con la media integrale di N2 sul lato __23__ che vale un mezzo e considerando //d//__sup__ = t·l otteniamo:\\ \\ $ \underline{F}_s = \frac{l}{2}tS_x $\\ \\ Seguendo lo stesso procedimento e facendo le stesse ipotesi si ottengono in maniera analoga gli elementi 4, 5 e 6 del vettore FsT. In parole povere possiamo dire che un nodo si prende metà del carico distribuito (sotto forma di carico nodale) mentre l’altro si prende l’altra metà del carico, a lui più vicino.\\ \\ {{ :wikipaom2016:fig_7.jpg?300 |}}\\ \\ {{ :wikipaom2016:fig_9.jpg?200 |}}\\ \\ {{ :wikipaom2016:fig_8.jpg?200 |}}\\ \\ Prendiamo ora come esempio un carico superficiale distribuito in maniera non uniforme (ad esempio una tipica distribuzione a farfalla dovuta a sollecitazione flettente): per note proprietà geometriche le risultanti dei carichi, aventi modulo pari a P·l/2·t·1/2, si troveranno a 2·l/3 dal punto in cui il carico risulta nullo, come può notarsi dalla figura:\\ \\ {{ :wikipaom2016:fig_10.jpg |}}\\ \\ L’equivalenza nodale nel caso di carichi superficiali non uniformi __non vale__: infatti, osservando la figura, si vede che "//traducendo//" il carico distribuito in carico nodale, si incorre in una parziale sovrastima dei momenti, andando con questa operazione a variare i bracci delle risultanti.\\ \\ * **Lavoro delle forze di volume**:\\ \\ $\delta W_{vol} = \int_{Vol.} (q_x(x,y) \delta u(x,y)+q_y(x,y) \delta v(x,y))dV$=\\ $$\ \int_{Vol.} \begin{bmatrix} q_x(x,y) & q_y(x,y) \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \delta u \\ \delta v \end{bmatrix}dV$$\\ \\ In maniera analoga al caso superficiale precedente, considerando il vettore degli spostamenti infinitesimi come prodotto tra la matrice __N__ ed il vettore δ__u__ e portando fuori quest’ultimo dall’operatore integrale (essendo un vettore costante), otteniamo rispettivamente:\\ \\ $$\delta W_{vol} = \int_{Vol.} (\begin{bmatrix} q_x(x,y) & q_y(x,y) \end{bmatrix}\underline{\underline{N}}(x,y) \delta \underline{u})dV$$ = $$\ \delta \underline{u} \int_{Vol.} (\begin{bmatrix} q_x(x,y) & q_y (x,y) \end{bmatrix}\underline{\underline{N}}(x,y) )dV$$ =$ \ \underline{F}^T_v \delta\underline{u} $\\ \\ Otterremmo dunque un vettore FvolT anch’esso di sei elementi.\\ Per esempio:\\ \\ {{ :wikipaom2016:fig_12.jpg?300 |}}