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+====== LEZIONE 3 (IN ATTESA DI REVISIONE) ======
+===== Riassunto lezione precedente =====
+Nella precedente lezione è stata definita la matrice N, costituita dalle tre funzioni di forma N<sub>1</sub>, N<sub>2</sub> e N<sub>3</sub>, con la quale è stato possibile legare lo spostamento lungo X ed Y di un generico punto interno all’elemento triangolare agli spostamenti nodali dello stesso.\\ \\
+$$ \begin{bmatrix}
+u(x,y))\\ v(x,y))
+\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
+N_1(x,y) & 0  & N_2(x,y)  & 0  & N_3(x,y)  & 0 \\
+& N_1(x,y)  & 0  & N_2(x,y)  & 0  & N_3(x,y)
+\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
+u_1\\ v_1
+\\ u_2
+\\ v_2
+\\ u_3
+\\ v_3
+\end{bmatrix} $$\\ \\
+Che nel caso tridimensionale diventa:\\ \\
+$$ \begin{bmatrix}
+u(x,y))\\ v(x,y))\\ w(x,y)
+\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
+N_1(x,y) & 0 & 0 & N_2(x,y)  & 0 & 0  & N_3(x,y)  & 0 & 0 \\
+& N_1(x,y)  & 0 & 0  & N_2(x,y)  & 0 & 0  & N_3(x,y)& 0 \\
+& 0 & N_1(x,y)& 0 & 0 & N_2(x,y)& 0 & 0 & N_3(x,y) \\
+\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
+u_1
+\\ v_1
+\\ w_1
+\\ u_2
+\\ v_2
+\\ w_2
+\\ u_3
+\\ v_3
+\\ w_3
+\end{bmatrix} $$\\ \\
+Con ω spostamento lungo l’asse Z.\\ \\
+**Nota**: è possibile considerare ulteriori gradi di libertà oltre agli spostamenti nodali, inserendo righe nel vettore __δ__ e lo stesso numero di colonne nella matrice __N__. \\
+$$ \begin{bmatrix}
+u(x,y))\\ v(x,y))
+\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
+N_1(x,y) & 0  & N_2(x,y)  & 0  & N_3(x,y)  & 0 & U_3\\
+& N_1(x,y)  & 0  & N_2(x,y)  & 0  & N_3(x,y) & V_3
+\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
+u_1\\ v_1
+\\ u_2
+\\ v_2
+\\ u_3
+\\ v_3
+\\ \xi
+\end{bmatrix} $$ \\ \\
+===== Introduzione =====
+Consideriamo ancora l’equilibrio dell’elemento triangolare tre nodi:\\ \\
+{{ :wikipaom2016:fig_1.jpg?200 |}}\\ \\
+L’elemento triangolare può essere soggetto a carichi di diversa natura:\\
+  * Carico distribuito di superficie (S<sub>x</sub>, S<sub>y</sub>);\\
+  * Carico distribuito di volume (q<sub>x</sub>, q<sub>y</sub>);\\
+  * Carico distribuito di spigolo ( solitamente non considerato);\\
+  * Carico concentrato nodale (P<sub>x</sub>, P<sub>y</sub>) che nel caso bidimensionale coincide con i carichi di spigolo;\\ \\
+===== Equilibrio del sistema =====
+Ipotizziamo che il nostro sistema abbia comportamento lineare, ossia valgano le seguenti condizioni:\\
+  * //Scalabilità degli effetti//: l’uscita (output) del nostro sistema, sarà direttamente proporzionale all’ingresso applicato (input).\\ \\
+{{ :wikipaom2016:fig_2.jpg?300 |}}\\ \\
+  * //Componibilità degli effetti//: in presenza di più sollecitazioni la risposta complessiva del sistema può essere vista come somma delle risposte alle varie sollecitazioni prese singolarmente;\\
+{{ :wikipaom2016:fig_3.jpg |}}\\ \\
+$ \delta  = \delta P + \delta Q $\\ \\
+Sotto queste ipotesi è possibile applicare il //Teorema dei Lavori Virtuali//. Definiamo un vettore degli spostamenti virtuali δ__<sub>u</sub>__  con $$ \delta _\underline{u} = \begin{bmatrix}
+\delta u_1
+\\ \delta v_1
+\\ \delta u_2
+\\ \delta v_2
+\\ \delta u_3
+\\ \delta v_3
+\end{bmatrix} $$
+\\
+Se il sistema è in equilibrio, per ogni δ__<sub>u</sub>__, la somma dell’energia potenziale dovuta ai carichi e dell’energia potenziale elastica del sistema è nulla.\\ \\
+$ \delta U_f + \delta U_e = 0 $
+\\ \\
+Oppure, considerando al posto dell’energia potenziale il lavoro svolto dai carichi:\\ \\
+$ \delta W_f = -\delta U_f $
+\\
+===== Energia potenziale elastica =====
+Nel caso tridimensionale l’energia potenziale elastica assume la seguente forma:\\ \\
+$$ U = \frac{1}{2} \int_{V} \begin{bmatrix}
+\sigma_x & \sigma_y  & \sigma_z  & \tau_{xy}  & \tau_{xz}  & \tau_{yz}
+\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
+ \varepsilon_x \\ \varepsilon_y
+\\ \varepsilon_z
+\\ \gamma_{xy}
+\\ \gamma_{xz}
+\\ \gamma_{yz}
+\end{bmatrix} dV $$ \\ \\
+Che può essere ridotta, nel caso bidimensionale di **Tensione Piana** e **Deformazione Piana**, alla forma seguente:\\ \\
+$$ U = \frac{1}{2} \int_{V} \begin{bmatrix}
+\sigma_x & \sigma_y   & \tau_{xy}
+\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
+ \varepsilon_x \\ \varepsilon_y
+\\ \gamma_{xy}
+\end{bmatrix} dV $$
+\\ \\
+La relazione esistente tra spostamenti virtuali e deformazioni virtuali, da essi indotte, può essere scritta come:\\ \\
+$ \delta \underline{u} \rightarrow \delta \underline{\varepsilon} = \underline{\underline{B}} \ \delta \underline{u} $\\ \\
+Dove $ \underline{\underline{L}} \    \underline{\underline{N}}  =     \underline{\underline{B}}  $\\ \\ e $$ \underline{\underline{L}}  =       \begin{bmatrix}
+\frac{\partial }{\partial x} & 0 \\
+& \frac{\partial }{\partial y} \\
+ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}
+\end{bmatrix} $$
+ \\ \\
+Possiamo dunque definire la variazione di energia potenziale elastica:\\ \\
+$ \delta U = \int_{V} \underline{\sigma}^T \delta \underline{\varepsilon} \ dV $\\ \\
+Con $$ \underline{\sigma}^T = \begin{bmatrix}
+\sigma_x & \sigma_y  & \sigma_z  & \tau_{xy}  & \tau_{xz}  & \tau_{yz}
+\end{bmatrix} $$
+ e $$ \delta \underline{\varepsilon} = \begin{bmatrix}
+ \delta \varepsilon_x \\ \delta \varepsilon_y
+\\ \delta \varepsilon_z
+\\ \delta \gamma_{xy}
+\\ \delta \gamma_{xz}
+\\ \delta \gamma_{yz}
+\end{bmatrix} $$\\
+===== Lavoro dei carichi esterni =====
+  * **Lavoro concentrato ai nodi**:\\ \\
+$ \delta W_p = P_{x1} \delta u_1 + P_{y1} \delta v_1  +  P_{x2} \delta u_2  +  P_{y2} \delta v_2  +  P_{x3} \delta u_3  +  P_{y3}\delta v_3 =
+\underline{P}^T \delta\underline{u} $ \\ \\
+con $$ \underline{P}^T = \begin{bmatrix}
+P_{x1} & P_{y1}  & P_{x2}  & P_{y2}  & P_{x3}  & P_{y3}
+\end{bmatrix} $$
+\\ \\
+Dove P<sub>x</sub> e P<sub>y</sub> sono le componenti dei carichi nodali e δ<sub>u</sub> e δ<sub>v</sub> gli spostamenti virtuali nodali.\\ \\
+  * **Lavoro delle forze di superficie**:\\ \\
+$ \delta W_s = \int_{sup} (S_x \delta u(x,y) + S_y\delta v(x,y))dS $= \\
+$$ =\ \int_{sup} \begin{bmatrix}
+S_x(x,y) & S_y(x,y)
+\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
+\delta u(x,y)\\
+\delta v(x,y)
+\end{bmatrix} dS $$ = $ \ \int_{sup} \underline{S}^T(x,y) \underline{\underline{N}}(x,y)\delta\underline{u}dS $=$ \delta W_s = \delta\underline{u}\int_{sup} \underline{S}^T(x,y) \underline{\underline{N}}(x,y)dS $=$ \delta W_s = \underline{F}^T_s \delta\underline{u} $\\ \\
+In cui F<sub>s</sub><sup>T</sup> sta ad indicare un vettore di forze ai nodi “//energeticamente//” equivalenti alle forze di superficie agenti sull’elemento. Tramite questo espediente, infatti, si è riuscito a “//tradurre//” dei carichi superficiali in carichi/forze ai nodi, rendendo il tutto di più facile lettura e facilitando così le successive operazioni.\\
+Per chiarire le idee, supponiamo di avere un lato (lato __23__) del nostro elemento triangolare soggetto ad un carico distribuito (di superficie) costante che scomponiamo nelle due componenti S<sub>x</sub> ed S<sub>y</sub> lungo gli assi. Il lato ha lunghezza l e l’elemento ha spessore t. Si può notare, andando a graficare l’andamento delle funzioni di forma N<sub>1</sub>, N<sub>2</sub> e N<sub>3</sub> esclusivamente per il suddetto lato, che, come noto, N<sub>2</sub> cresce linearmente dal vertice 3 al vertice 2: essa infatti è nulla in 3 ed unitaria in 2; lo stesso per N<sub>3</sub>: in 2 assume valore nullo mentre in 3 ha valore pari ad uno. Notare inoltre che N<sub>1</sub> è identicamente nulla per ogni punto del lato __23__ ( N ha comportamento rettilineo lineare ed essendo N<sub>1</sub> nulla sia in 2 che in 3, deve per forza essere nulla anche nei punti compresi).\\ \\
+{{ :wikipaom2016:fig_456.jpg |}}\\ \\
+Andiamo ora a determinare il vettore F<sub>s</sub><sup>T</sup> nella pratica:\\ \\
+$$ \underline{F}_s = \int_{sup.\bar{23}} \begin{bmatrix}
+S_x(x,y) & S_y(x,y)
+\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
+N_1(x,y) & 0 & N_2(x,y) & 0 & N_3(x,y) & 0 \\
+& N_1(x,y)  & 0   & N_2(x,y)  & 0   & N_3(x,y)
+\end{bmatrix}dS_\bar{23} $$
+\\ \\
+Si può immediatamente notare che si tratta di un vettore di sei elementi, dato che deriva dal prodotto matriciale tra __S__<sup>T</sup> che è una 1x2 ed __N__ che è una 2x6: il primo elemento rappresenta la componente del carico al nodo 1 equivalente (al carico di superficie), in direzione X; il secondo la componente del carico al nodo 1 equivalente, in direzione Y; il terzo la componente del carico al nodo 2 equivalente, in direzione X e così via per gli altri tre elementi di __F__<sub>s</sub><sup>T</sup>, fino al nodo 3. Il tutto si può facilmente osservare andando a determinare analiticamente, elemento per elemento, il vettore __F__<sub>s</sub><sup>T</sup>.\\ \\
+**Elemento 1**: $ \underline{F}_s = \int_{sup.\bar{23}} (S_xN_1 + S_y0)dS_\bar{23} $\\ \\
+**Elemento 2**: $ \underline{F}_s = \int_{sup.\bar{23}} (S_x0 + S_yN_1)dS_\bar{23} $\\ \\
+**Elemento 3**: $ \underline{F}_s = \int_{sup.\bar{23}} (S_xN_2 + S_y0)dS_\bar{23} $ cioè $\underline{F}_s = S_x \int_{sup.\bar{23}} N_2 dS_\bar{23}$ \\ \\
+Andando a sostituire l’integrale di N<sub>2</sub> sulla superficie con la media integrale di N<sub>2</sub> sul lato __23__ che vale un mezzo e considerando //d//__sup__ = t·l otteniamo:\\ \\
+$ \underline{F}_s = \frac{l}{2}tS_x $\\ \\
+Seguendo lo stesso procedimento e facendo le stesse ipotesi si ottengono in maniera analoga gli elementi 4, 5 e 6 del vettore F<sub>s</sub><sup>T</sup>. In parole povere possiamo dire che un nodo si prende metà del carico distribuito (sotto forma di carico  nodale) mentre l’altro si prende l’altra metà del carico, a lui più vicino.\\ \\
+{{ :wikipaom2016:fig_7.jpg?300 |}}\\ \\
+{{ :wikipaom2016:fig_9.jpg?200 |}}\\ \\
+{{ :wikipaom2016:fig_8.jpg?200 |}}\\ \\
+Prendiamo ora come esempio un carico superficiale distribuito in maniera non uniforme (ad esempio una tipica distribuzione a farfalla dovuta a sollecitazione flettente): per note proprietà geometriche le risultanti dei carichi, aventi modulo pari a P·l/2·t·1/2, si troveranno a 2·l/3 dal punto in cui il carico risulta nullo, come può notarsi dalla figura:\\ \\
+{{ :wikipaom2016:fig_10.jpg |}}\\ \\
+L’equivalenza nodale nel caso di carichi superficiali non uniformi __non vale__: infatti, osservando la figura, si vede che "//traducendo//" il carico distribuito in carico nodale, si incorre in una parziale sovrastima dei momenti, andando con questa operazione a variare i bracci delle risultanti.\\ \\
+  * **Lavoro delle forze di volume**:\\ \\
+$\delta W_{vol} = \int_{Vol.} (q_x(x,y) \delta u(x,y)+q_y(x,y) \delta v(x,y))dV$=\\ $$\ \int_{Vol.} \begin{bmatrix}
+q_x(x,y) & q_y(x,y)
+\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
+\delta u \\ \delta v
+\end{bmatrix}dV$$\\ \\
+In maniera analoga al caso superficiale precedente, considerando il vettore degli spostamenti infinitesimi come prodotto tra la matrice __N__ ed il vettore δ__<sub>u</sub>__ e portando fuori quest’ultimo dall’operatore integrale (essendo un vettore costante), otteniamo rispettivamente:\\ \\
+$$\delta W_{vol} = \int_{Vol.} (\begin{bmatrix}
+q_x(x,y) & q_y(x,y)
+\end{bmatrix}\underline{\underline{N}}(x,y) \delta \underline{u})dV$$ = $$\ \delta \underline{u} \int_{Vol.} (\begin{bmatrix}
+q_x(x,y) & q_y (x,y)
+\end{bmatrix}\underline{\underline{N}}(x,y) )dV$$
+=$ \ \underline{F}^T_v \delta\underline{u} $\\ \\
+Otterremmo dunque un vettore F<sub>vol</sub><sup>T</sup> anch’esso di sei elementi.\\
+Per esempio:\\ \\
+{{ :wikipaom2016:fig_12.jpg?300 |}}